2015年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）（2015•湖南）已知
=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A． 1+i B． 1﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i 2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ） A． B． C． D．
4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A． ﹣7 B． ﹣1 C． 1 D． 2 5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ） A． 奇函数，且在（0，1）上是增函数 B． 奇函数，且在（0，1）上是减函数 C． 偶函数，且在（0，1）上是增函数 D． 偶函数，且在（0，1）上是减函数 6．（5分）（2015•湖南）已知（
﹣
5
）的展开式中含x
的项的系数为30，则a=（ ）
A． B． C． 6 D． ﹣6 ﹣
7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附“若X﹣N=（μ，a2），则 P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826． p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544． A． 2386 B． 2718 C． 3413 D． 4772 8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则| A． 6
|的最大值为（ ） B． 7
C． 8
D． 9
1
9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得
，则φ=
到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=（ ） A．
B．
C．
D．
10．（5分）（2015•湖南） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率= A．
）（ ）
B．
C．
D．
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2015•湖南）
（x﹣1）dx= ．
12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示． 若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统 抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151] 上的运动员人数
是 ．
13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：
﹣
=1的一个焦点．若C上存在点P，使
线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ． 14．（5分）（2015•湖南）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an= ．
15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=
若存在实数b，使函数g（x）=f（x）
﹣b有两个零点，则a的取值范围是 ．
三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲 16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明： （1）∠MEN+∠NOM=180°
2
（2）FE•FN=FM•FO．
选修4-4：坐标系与方程
17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M的直角坐标为（5，
选修4-5：不等式选讲
），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立． 19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
3
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望． 21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上． （1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．
22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2
4
+=1（a＞b
．
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且
与
同向．
（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；
（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形． 23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=eaxsinx（x∈[0，+∞]）．记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明： （Ⅰ）数列{f（xn）}是等比数列； （Ⅱ）若a≥
答案： 1、
解：∵已知
，则对一切n∈N*，xn＜|f（xn）|恒成立．
=1+i（i为虚数单位），∴z===
2、
3、
﹣1﹣i， 故选：D．
解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”， “A⊆B”，可得“A∩B=A”．
所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件． 故选：C．
解：判断前i=1，n=3，s=0，
5
第1次循环，S=第2次循环，S=第3次循环，S=
，i=2，
，i=3，
，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=故选：B 4
解：由约束条件
作出可行域如图， =
=
由图可知，最优解为A， 联立
，解得C（0，﹣1）．由
解得A（﹣2，1），由
，
5、
解得B（1，1）
∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7． 故选：A．
解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；
x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确． 故选：A．
解：根据所给的二项式写出展开式的通项， Tr+1=
=
；
6、
展开式中含x∴
∴r=1，并且故选：D． 7、
，
的项的系数为30，
，解得a=﹣6．
解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，
6
∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413， 故选：C． 8、
解：由题意，AC为直径，所以|所以B为（﹣1，0）时，|4+所以|故选：B． 9、
解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜
）个单
|≤7．
|=|2
+
|=|4+
|．
|的最大值为7．
位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=不妨x1=此时φ=x1=φ=
，x2=
，x2=
，即g（x）在x2=
，
，取得最小值，sin（2×
﹣2φ）=﹣1，
，不合题意，
，即g（x）在x2=
，取得最大值，sin（2×
﹣2φ）=1，此时
，满足题意．
故选：D．
10、 解：根据三视图可判断其为圆锥，
∵底面半径为1，高为2，
∴V=
×2=
∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件， ∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x， ∴根据轴截面图得出：=解得；n=
（1﹣
，
），0＜x＜2，
7
∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，
∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，
∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减， Ω最大值=2（1﹣
）2×=
，
∴原工件材料的利用率为=×=，
故选：A 11、
解：
（x﹣1）dx=（
﹣x）|
=0；
故答案为：0．
12、 解：根据茎叶图中的数据，得；
成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20， 用系统抽样方法从35人中抽取7人， 成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取
7×
=4（人）．
故答案为：4．
13、 解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），
设PF的中点为M（0，b）， 即有m=﹣c，n=2b，
将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，
﹣
=1，
可得e2=
=5，
解得e=． 故答案为：．
14、 解：设等比数列的公比为q，Sn为等比数列{an}的前n项和，
若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列， 可得4S2=S3+3S1，a1=1，
即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．
﹣
∴an=3n1．
﹣
故答案为：3n1．
15、 解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交 点，由x3=x2可得，x=0或x=1
8
①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满 足题意，故a＞1满足题意
②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不 符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合 题意
④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意
⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在 b使得，y=f（x）与y=b有两个交点 综上可得，a＜0或a＞1 故答案为：{a|a＜0或a＞1} 16、 证明：（1）∵N为CD的中点，
∴ON⊥CD，
∵M为AB的中点， ∴OM⊥AB，
在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°， ∴O，M，E，N四点共圆， ∴∠MEN+∠NOM=180°
（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°， ∴△FEM∽△FON， ∴
=
∴FE•FN=FM•FO．
22
17、 解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）+y=1；
（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直
线l上，
过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18， 由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18． 18、 证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，
则a+b=+=
，
由于a+b＞0，则ab=1，
即有a+b≥2=2，
当且仅当a=b取得等号． 则a+b≥2；
（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立． 由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1， 由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1， 这与ab=1矛盾．
a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立． 19、
解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得
==
，
9
∴sinB=cosA，即sinB=sin（又B为钝角，∴∴B=
+A∈（
；
+A） ，π），
+A，∴B﹣A=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+∴A∈（0，
），∴sinA+sinC=sinA+sin（
+A）=﹣2A）
﹣2A＞0，
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2（sinA﹣）2+， ∵A∈（0，
），∴0＜sinA＜
，
∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤
，]
∴sinA+sinC的取值范围为（
20、 解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是
红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件
C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，互斥，且B1=A1A2，B2===
+
，
互斥，B1，B2
，P（A2））+P（
）
，C=B1+B2，因为P（A1）=
=，P（B2）=P（=
．
，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）=
+
=，故
所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：P（X=1）==
故X的分布列为： X 0 P
E（X）=3×=．
=
．
所以．X～B
=
．于是，P（X=0）=，P（X=2）=
=
=
，
，P（X=3）
1
2
3
10
21、 解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，
z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；
Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；
∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P∴∴∴
； ；
，
； ；
∴AB1⊥PQ；
（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上； ∴
，0≤λ≤1；
∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）； ∴
；
∴z2=12﹣2y2；
∴P（0，y2，12﹣2y2）； ∴
平面ABB1A1的一个法向量为∵PQ∥平面ABB1A1； ∴
=6（y1﹣y2）=0；
；
；
∴y1=y2；
∴Q（6，y2，0）； 设平面PQD的法向量为
，则：
；
∴，取z=1，则；
又平面AQD的一个法向量为；
11
又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；
∴；
解得y2=4，或y2=8（舍去）； ∴P（0，4，4）； ∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=
．
；
22、 解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个
焦点，
∴a2﹣b2=1，①，
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±所以
=1，②，
，），
联立①②得a2=9，b2=8， 故C2的方程为
+
=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），A（x4，y4）， （ⅰ）因为所以
=
与，
同向，且|AC|=|BD|，
从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是 （x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③ 设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1， 由
，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④
，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，
由
所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤
12
将④⑤代入③，得16（k2+1）=
+，
即16（k2+1）=所以（9+8k2）2=16×9， 解得k=±
．
，
（ⅱ）由x2=4y得y′=x，
所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1）， 即y=x1x﹣x12， 令y=0，得x=x1， M（x1，0）， 所以而于是
=（x1，﹣1）， =（x1，y1﹣1）， •
=x12﹣y1+1=x12+1＞0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角， 故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形． 23、
证明：（Ⅰ）f′（x）=eax（asinx+cosx）=tanφ=，0＜φ＜
，
•eaxsin（x+φ），
令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，
对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ， 则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，mπ）上f′（x）符号总相反．
于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以xn=nπ﹣φ，n∈N*，
（﹣）（﹣）
此时f（xn）=eanπφsin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1eanπφsinφ， 易知f（xn）≠0，而常数，
故数列{f（xn）}是首项为f（x1）=ea
（π﹣φ）
=
=﹣eaπ是
sinφ，公比为﹣eaπ的等比数列；
13
（Ⅱ）由sinφ=
，可得对一切n∈N*，xn＜|f（xn）|恒成立．
即为nπ﹣φ＜
ea
（nπ﹣φ）
恒成立⇔＜，①
设g（t）=（t＞0），g′（t）=，
当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．
t=1时，g（t）取得最小值，且为e． 因此要使①恒成立，只需
＜g（1）=e，
只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，
可得＜φ＜，
，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞
因此对n∈N*，axn=故①亦恒成立． 综上可得，若a≥
≠1，即有g（axn）＞g（1）=e=，
，则对一切n∈N*，xn＜|f（xn）|恒成立．
14
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